旋转椭圆的外切水平矩形

¶Motivation

在目标检测中，标注的目标为旋转的，而使用的算法仅支持检测水平矩形框（Bounding Box），这时就需要对数据进行批量数据增强，在输入模型前把输入数据（标注好的水平矩形）旋转任意角度 $\alpha$ ，得到新的矩形，但是怎么把旋转的矩形变回水平矩形格式呢？

¶一种朴素（暴力）的做法

取所有点的最值得到水平矩形

$\{(\min(x_1,x_2),\min(y_1,y_2)),(\max(x_1,x_2),\max(y_1,y_2))\}$

这样得到的水平矩形很大，而且包住了很多空白部分

¶本文方法

以原有水平矩形 $\{(x_1,y_1)(x_2,y_2)\}$ 构建椭圆

$\frac{(x-\frac{x_1+x_2}{2})^2}{(\frac{x_1-x_2}{2})^2}+\frac{(y-\frac{y_1+y_2}{2})^2}{(\frac{y_1-y_2}{2})^2}=1$

此椭圆旋转 $\alpha$ 后得到的旋转椭圆的外切水平矩形即为所求
new rectangle
也就是求椭圆旋转后的 $x,y$ 的最值

¶Solution

设一个椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
外接矩形易得： $\begin{cases} x=\pm a\\ y=\pm b\\ \end{cases}$
但是，椭圆逆时针旋转一定角度 $\alpha$ 后
即应用一个变换：

$\begin{equation}\begin{bmatrix} x^{'} \\ y^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha \\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\end{equation}$

椭圆的参数方程由

$\begin{cases} x = a\cos\theta\\ y=b\cos\theta \end{cases}$

变为

$\begin{cases} x\cos\alpha-y\sin\alpha=a\cos\theta\\ x\sin\alpha+y\cos\alpha=b\sin\theta \end{cases} (\theta为参数)$

整理得：

$\begin{equation}\begin{cases} x=\frac{a\cos\theta+y\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ y=\frac{b\sin\theta-x\sin\alpha}{\cos\alpha} \end{cases}\end{equation}$

$y$ 带入 $x$ 后得：

$x=\frac{1}{\cos\alpha} (a\cos\theta+\sin\alpha(\frac{b\sin\theta-x\sin\alpha}{\cos\alpha})) \newline x\cos^2\alpha+x\sin^2\alpha = a\cos\alpha\cos\theta+b\sin\alpha\sin\theta \newline \xhookrightarrow{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1} x=a\cos\alpha\cos\theta+b\sin\alpha\sin\theta$

这里 $a,b,\alpha$ 为参数(常数),令 $a\cos\alpha=A, b\sin\alpha=B$ ，得到关于 $x$ 的表达式

$x = A\cos\theta+B\sin\theta \newline x = u(\frac{A}{u}\cos\theta+\frac{B}{u}\sin\theta) \gets (u=\sqrt{A^2+B^2})\newline \implies x = u\sin(\theta+\beta)$